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2021考研数学,极限不等式

2020-08-06 16:29
考研数学有关不等式的考察频率还是比较高的,是每个学生都必须掌握的,要想完全掌握得从根本上理解不等式问题,什么类型,什么方法,什么细节等。下面我从两个方面具体说明一下。
 
有关不等式的考察问题,分为二种,一是常数不等式证明,即证明对 ba ,有 g ( a, b)  0形式,常数不等式问题故名思义就是不含变量 x 的不等式,大体做
 
法分为两种:
1.拉格朗日中值定理,这种方法处理的问题有他的独特形式,就是出现函数差fb − fa ,需考虑此方法。这种不等式的来源是根据中值的不等式来的,从而得到函数差的常数不等式,所以函数差是做此类问题的题眼,比如我们 2011 年数二的一道大题的第一问就是此方法。
 
2.常数变异法,就是把常数不等式里的一个大的常数 b 变为 x ,得到一个函数不等式证明对 x  a 有 g ( a, x)  0 形式,接着用函数不等式的证明方法处理。这种
 
方法的想法是把一个点推广应用到函数 g ( a, x) 0 在一个区间内成立,即函数不等式,接着再把点 x b a 回代,就得到需证的常数不等式。
 
第二种是函数不等式,证明对 x a , b 有 f ( x )  g ( x) 形式,此时令
 
F ( x ) f ( x ) − g ( x),方法分为三种:
 
1.单调性,处理构造出函数 F ( x) 的导数符号固定的,考试当中百分之九十多是
 
这种方法。
 
2.最值,处理构造出函数 F ( x) 的导数符号不固定,有增有减,就会出现最值,
 
根据取得最值的唯一性定理处理。
 
3.凹凸性,这类方法比较小类,做小题居多,往往给出的是 F ( x) 二阶导的符号。
 
所以学生只要把方法理解,会分类处理,什么类型,什么方法,多做几个就可以掌握了。
 
在证明不等式需注意的是,在构造函数的时候,不一定直接移项得到,有时需要对不等式进行恒等变形,得到形式相对比较简单的函数,处理起来也相对简单。
 
求极限是考研数学中考频最高的知识点,数二数三至少会出一道大题,小题就更不用说了,再者我们高数的重点概念比如连续、导数、定积分都是由极限定义出来的,所以怎么说它重要都不为过。
 
关于求极限分为两类,数列极限,函数极限。关于求极限,把常见方法,常见类型掌握即可,一定要会认清形式,知道做题分析步骤,定型、化简、定法。因为数学是一个最讲究形式的科目,不同形式方法就会不同。
 
第一数列极限,方法大致分为五种:1.夹逼准则,处理两类题型, n 项和式极限,开 n 次方根,2.单调有界定理,处理证明题,并且数列以递推关系给出,3.化成函数极限,4.定积分定义,这个必须重点掌握,考过小题,还有大题,其也是处理 n 项和式的极限,要区别于夹逼准则,重点是从形式上去区分。5 数列极限的定义,用的不是很多。所以做题要记清楚方法形式。
 
二是函数极限,主要处理 7 类未定式极限 00 ,  , 0, − ,1, 0 0 , 0 ,其中考察的重点 0 ,1 ,因为 0 这种类型处理方法较多,灵活性多: 消去 0 因子,若
 
有根号考虑有理化,2.等价替换,记住常见的替换公式,与常见替换原理,3.导数定义,凑导数极限形式,要熟悉导数的形式,4 泰勒公式,要会记住常见的展开,以及定展开阶数,5.洛必达法则,不到最后是不会考虑的。1 记住公式即可。
 
所以拿到一道极限题,第一要看形式数列极限还是函数极限,再定型化简,记住常见方法,灵活运用即可,课下一定要多做题。
2021考研数学,极限不等式