2021考研数学，极限不等式
2021-03-19 09:59
考研数学有关不等式的考察频率还是比较高的，是每个学生都必须掌握的，要想完全掌握得从根本上理解不等式问题，什么类型，什么方法，什么细节等。下面我从两个方面具体说明一下。
有关不等式的考察问题，分为二种，一是常数不等式证明，即证明对 ba ，有 g ( a, b) 0形式，常数不等式问题故名思义就是不含变量 x 的不等式，大体做
法分为两种:
1.拉格朗日中值定理，这种方法处理的问题有他的独特形式，就是出现函数差fb − fa ，需考虑此方法。这种不等式的来源是根据中值的不等式来的，从而得到函数差的常数不等式，所以函数差是做此类问题的题眼，比如我们 2011 年数二的一道大题的第一问就是此方法。
2.常数变异法，就是把常数不等式里的一个大的常数 b 变为 x ，得到一个函数不等式证明对 x a 有 g ( a, x) 0 形式，接着用函数不等式的证明方法处理。这种
方法的想法是把一个点推广应用到函数 g ( a, x) 0 在一个区间内成立，即函数不等式，接着再把点 x b a 回代，就得到需证的常数不等式。
第二种是函数不等式，证明对 x a , b 有 f ( x ) g ( x) 形式，此时令
F ( x ) f ( x ) − g ( x)，方法分为三种：
1.单调性，处理构造出函数 F ( x) 的导数符号固定的，考试当中百分之九十多是
这种方法。
2.最值，处理构造出函数 F ( x) 的导数符号不固定，有增有减，就会出现最值，
根据取得最值的唯一性定理处理。
3.凹凸性，这类方法比较小类，做小题居多，往往给出的是 F ( x) 二阶导的符号。
所以学生只要把方法理解，会分类处理，什么类型，什么方法，多做几个就可以掌握了。
在证明不等式需注意的是，在构造函数的时候，不一定直接移项得到，有时需要对不等式进行恒等变形，得到形式相对比较简单的函数，处理起来也相对简单。
求极限是考研数学中考频最高的知识点，数二数三至少会出一道大题，小题就更不用说了，再者我们高数的重点概念比如连续、导数、定积分都是由极限定义出来的，所以怎么说它重要都不为过。
关于求极限分为两类，数列极限，函数极限。关于求极限，把常见方法，常见类型掌握即可，一定要会认清形式，知道做题分析步骤，定型、化简、定法。因为数学是一个最讲究形式的科目，不同形式方法就会不同。
第一数列极限，方法大致分为五种：1.夹逼准则，处理两类题型， n 项和式极限，开 n 次方根，2.单调有界定理，处理证明题，并且数列以递推关系给出，3.化成函数极限，4.定积分定义，这个必须重点掌握，考过小题，还有大题，其也是处理 n 项和式的极限，要区别于夹逼准则，重点是从形式上去区分。5 数列极限的定义，用的不是很多。所以做题要记清楚方法形式。
二是函数极限，主要处理 7 类未定式极限 00 , , 0, − ,1, 0 0 , 0 ，其中考察的重点 0 ,1 ，因为 0 这种类型处理方法较多，灵活性多: 消去 0 因子，若
有根号考虑有理化，2.等价替换，记住常见的替换公式，与常见替换原理，3.导数定义，凑导数极限形式，要熟悉导数的形式，4 泰勒公式，要会记住常见的展开，以及定展开阶数，5.洛必达法则，不到最后是不会考虑的。1 记住公式即可。
所以拿到一道极限题，第一要看形式数列极限还是函数极限，再定型化简，记住常见方法，灵活运用即可，课下一定要多做题。
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