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线性代数学习的核心——从鸡兔同笼到线性方程组

2020-08-06 16:29
鸡兔同笼问题流传了一些很有意思的解法,让我们暂且远离考研,品味一下小学数学的趣味:鸡兔同笼,头 20,腿 50,问鸡兔各几?
 
假设鸡兔训练有素,吹哨则抬腿,那么一声哨响,20 条腿抬起,又一声哨响,20 条腿抬起,只有 2 只脚的可怜的鸡们,已经一屁股坐地上、两脚朝天了,地上还剩余的 10 条腿,全是兔子的,故 5 只兔子,另有 15 只鸡。
 
比起这个萌系的方法,孙子算经就比较残忍了,屠夫刷刷 25 刀,把每只鸡和兔子的腿都砍掉了一半,独脚鸡和双腿兔当然还是 20 个头,腿却只有 25 个了,独脚鸡一个脑袋一条腿,一样多,每只双腿兔却是 2 条腿 1 个兔头,腿比头多 1,那么自然有 5 只兔子。
 
其他方法,不一一列举了。各类巧妙解法,其实都是解方程组消元过程的等价描述。
 
追求精致而不求普适,其实是与数学思维背道而驰的,数学是高度抽象的,小时候思维能力不足时,也无妨在巧妙解法中体会数学之趣,但也要在普适解法中领略数学之美、之深刻,这才是奥数教育的真谛,沉迷于前者而否认后者,是走了邪路。
 
回到考研数学,当你需要面对研究生入学考试这个级别的筛选时,核心思维就是沿着刚才的路,再向前迈一步:进一步的抽象化,进一步寻找等价描述。这是线性代数的核心思维。比如,既然方程组加减消元时只有系数改变,省略未知数符号 xy 可不可以?当然可以。
 
就是小学时“残忍的砍脚法”的化简流程,也是中学时的加减消元法,如果你已经复习线性代数,就会认出这是对增广矩阵做初等行变换。线性代数的发端,本就是源自解方程组。
 
方程组既有代数形式,也有矩阵形式,还有向量形式。我们继续找等价描述,这个方程不同角度的描述有什么意义吗?随着大家的深入复习,你会发现,有些角度,某些命题是显而易见的,但换个角度却晦涩不清,比如,矩阵 A 及其转置矩阵 AT 的秩相等,并且与AT A 的秩, AAT 的秩都相等,如果大家用第二章矩阵的秩的原始定义去思考,毫无头绪,但如果利用线性方程组的角度,则是非常简单的;再比如两个同型矩阵 A, B 的秩满足关系式 r ( A)r ( B)  r ( AB) ,换到向量角度,就是个一目了然的结论。
 
线性代数知识结构异常紧密,考研中的线性代数试题,逻辑推导链条往往不长,与非常考较思维深度的高等数学不同,它更注重思维角度,找准突破口,这就需要考生全面深刻的理解线性代数的各个概念、性质、定理,尤其是他们之间的关系和等价表述,建立完整、清晰的知识体系。线性代数,一处不通,处处不通,第一轮复习时,对新手异常不友好,但坚持努力,百脉具通那一刻,会发现,原来线代如小溪般清澈见底。