考研复习经验-罗尔定理
2021-03-19 09:59
罗尔定理：若 f ( x) 在[ a , b] 上连续，在 ( a , b) 内可导，且 f ( a ) f (b), 则至少存在一点 ( a , b), 使
得 f ( ) 0.
f ( ) 0, f ( ) 0.
方法：对 f ( x ), f ( x) 用罗尔定理.
考法 2：证 G[ , f ( ), f ( )] 0.
特点：含导数，无 a , b
方法：构造辅助函数 F ( x), 使用罗尔定理.
(1)观察法
F ( x ) G[ x , f ( x ), f ( x)].
(2)公式法
F ( x ) ( x ) G[ x , f ( x ), f ( x)], 其中( x) 0.
形如： f ( x ) p ( x ) f ( x) 0, 则
公式法： F ( x ) e p ( x ) d x f ( x).
【例 1】设函数 f ( x) 在 ( , ) 上具有二阶连续导数，且 lim f ( x) 1, f (1) 0, 证明：至少
x2
x→0
存在一点 (0,1), 使得 f ( ) 0.
【解析】由泰勒定理，得
f (0) f (0) x f (0) x 2 o ( x2 )
f ( x)
lim lim 2! 1,
x 2 x2
x → 0 x→0
所以 f (0) f (0) 0, f (0) 2.
从而 f (0) f (1) 0.
对 f ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知，存在 (0,1), 使得 f () 0.
从而 f (0) f () 0.
再对 f ( x) 在[0, ] 上用罗尔定理知，存在 (0, ) (0,1), 使得 f ( ) 0.
【例 2】设函数 f ( x) 在[1, 3] 上连续，在 (1, 3) 内可导，且 23 ln x f ( x)dx 0, 证明：存在 (1, 3), 使得
f ( ) ln1 f ( ) 0.
1
【解析】设 F ( x ) f ( x ) ln x , x [1, 3].
由积分中值定理，知
3 3
2 ln x f ( x)dx 2 f ( x ) ln xdx f ( ) ln 0, [2, 3].
又 F (1) f (1) ln1 0, 从而 F (1) F () 0.
对 F ( x) 在[1, ] 上用罗尔定理知， (1,) (1, 3), 使得 F ( ) 0, 即
f ( ) ln1 f ( ) 0.
【例 3】设奇函数 f ( x) 在[ −1,1] 上具有二阶导数，且 f (1) 1, 证明：
(1)存在 (0,1), 使得 f ( ) 1;
(2)存在 ( −1,1), 使得 f ( ) f () 1.
【解析】(1)设 F ( x ) f ( x ) − x , x [ −1,1], 则 F (0) F (1) 0.
对 F ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知， (0,1), 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) 1.
(2)设 G ( x ) e x [ f ( x ) − 1], x [ −1,1], 则
G ( ) e [ f ( ) − 1] 0.
又 f ( − x ) − f ( x), 所以 f ( − x ) f ( x), 从而 f ( − ) f ( ), 于是
G ( − ) e − [ f ( − ) − 1] 0.
所以 G ( − ) G( ) 0.
对 G ( x) 在[ − , ] 上用罗尔定理知， ( − , ) ( −1,1), 使得 G() 0, 即 f ( ) f () 1.
由海文考研为大家整理的《2021考研复试分数线》来啦~~新鲜出炉，赶紧来看看↓↓↓↓↓↓↓↓
| 2021研究生考试复试分数线汇总（持续更新中...） | |||||
| 国家线 | |||||
| 学术型硕士 | 专业型硕士 | ||||
| 34所自主划线院校复试分数线 | |||||
| 北京 | |||||
| 清华大学 | 中国人民大学 | 北京航空航天大学 | 中国农业大学 | 北京理工大学 | 北京师范大学 |
| 北京大学 | |||||
| 天津 | |||||
| 天津大学 | 南开大学 | ||||
| 山东 | |||||
| 山东大学 | |||||
| 江苏 | |||||
| 南京大学 | 东南大学 | ||||
| 浙江 | |||||
| 浙江大学 | |||||
| 上海 | |||||
| 同济大学 | 复旦大学 | 上海交通大学 | |||
| 福建 | |||||
| 厦门大学 | |||||
| 广东 | |||||
| 中山大学 | 华南理工大学 | ||||
| 湖南 | |||||
| 湖南大学 | 中南大学 | ||||
| 湖北 | |||||
| 武汉大学 | 华中科技大学 | ||||
| 黑龙江 | |||||
| 哈尔滨工业大学 | |||||
| 吉林 | |||||
| 吉林大学 | |||||
| 辽宁 | |||||
| 东北大学 | 大连理工大学 | ||||
| 安徽 | |||||
| 中国科学技术大学 | |||||
| 陕西 | |||||
| 西安交通大学 | 西北工业大学 | ||||
| 重庆 | |||||
| 重庆大学 | |||||
| 四川 | |||||
| 四川大学 | 电子科技大学 | ||||
| 甘肃 | |||||
| 兰州大学 | |||||
| 更多高院校复试分数线 | |||||
| 对外经贸大学 | 西南财经大学 | 中国政法大学 | 中央财经大学 | （持续更新中...） | |
下一篇：2021考研数学，极限不等式
