考研复习经验-罗尔定理 - 考研数学备考-考研数学复习-考研数学学习方法 - 成都海文考研官网_考研辅导班_考研培训学校_在职考研培训班

海文考研,四川考研培训领导机构,只为你一次考上

  • 27年考研辅导品牌
  • 18328393564

    全国免费服务热线

    13438274775

当前位置:首页 > 考研备考 > 考研数学 >

考研复习经验-罗尔定理

2020-09-11 17:45
罗尔定理:若 f ( x) 在[ a , b] 上连续,在 ( a , b) 内可导,且 f ( a )  f (b), 则至少存在一点  ( a , b), 使
 
f ( )  0.
 
f ( )  0, f ( )  0.
 
方法:对 f ( x ), f ( x) 用罗尔定理.
 
考法 2:证 G[ , f ( ), f ( )]  0.
 
特点:含导数,无 a , b
 
方法:构造辅助函数 F ( x), 使用罗尔定理.
 
(1)观察法
 
F ( x )  G[ x , f ( x ), f ( x)].
 
(2)公式法
 
F ( x )  ( x ) G[ x , f ( x ), f ( x)], 其中( x)  0.
 
 
形如: f ( x )  p ( x ) f ( x)  0, 则
 
公式法: F ( x )  e  p ( x ) d x f ( x).
【例 1】设函数 f ( x) 在 (  , ) 上具有二阶连续导数,且 lim f ( x)  1, f (1)  0, 证明:至少
x2
x→0
存在一点 (0,1), 使得 f ( )  0.
【解析】由泰勒定理,得
f (0)  f (0) x  f (0) x 2   o ( x2 )
f ( x)
lim  lim 2!  1,
x 2 x2
x → 0 x→0
 
所以 f (0)  f (0)  0, f (0)  2.
 
从而 f (0)  f (1)  0.
 
f ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知,存在 (0,1), 使得 f ()  0.
 
从而 f (0)  f ()  0.
 
再对 f ( x) 在[0, ] 上用罗尔定理知,存在  (0, )  (0,1), 使得 f ( )  0.
 
【例 2】设函数 f ( x) 在[1, 3] 上连续,在 (1, 3) 内可导,且 23 ln x f ( x)dx  0, 证明:存在 (1, 3), 使得
 
f ( )   ln1  f ( )  0.
 
 
1
 
 
 
【解析】设 F ( x )  f ( x ) ln x , x [1, 3].
 
由积分中值定理,知
3 3
2 ln x f ( x)dx  2  f ( x ) ln xdx  f ( ) ln   0,  [2, 3].
 
 
 
 
F (1)  f (1) ln1  0, 从而 F (1)  F ()  0.
 
F ( x) 在[1, ] 上用罗尔定理知,   (1,)  (1, 3), 使得 F ( )  0, 即
 
f ( )   ln1  f ( )  0.
 
 
【例 3】设奇函数 f ( x) 在[ −1,1] 上具有二阶导数,且 f (1)  1, 证明:
 
(1)存在 (0,1), 使得 f ( ) 1;
 
 
(2)存在  ( −1,1), 使得 f ( )  f ()  1.
 
【解析】(1)设 F ( x )  f ( x ) − x , x  [ −1,1], 则 F (0)  F (1)  0.
 
F ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知,  (0,1), 使得 F ( )  0, 即 f ( )  1.
 
(2)设 G ( x )  e x [ f ( x ) − 1], x  [ −1,1], 则
 
G ( )  e [ f ( ) − 1]  0.
 
f ( − x )  − f ( x), 所以 f ( − x )  f ( x), 从而 f ( − )  f ( ), 于是
 
G ( − )  e −  [ f ( − ) − 1]  0.
 
所以 G ( − )  G( )  0.
 
G ( x) 在[ − ,  ] 上用罗尔定理知,   ( − ,  )  ( −1,1), 使得 G()  0, 即 f ( )  f ()  1.