考研复习经验-罗尔定理
2021-09-03 13:41:08
罗尔定理：若 f ( x) 在[ a , b] 上连续，在 ( a , b) 内可导，且 f ( a ) f (b), 则至少存在一点 ( a , b), 使
得 f ( ) 0.
f ( ) 0, f ( ) 0.
方法：对 f ( x ), f ( x) 用罗尔定理.
考法 2：证 G[ , f ( ), f ( )] 0.
特点：含导数，无 a , b
方法：构造辅助函数 F ( x), 使用罗尔定理.
(1)观察法
F ( x ) G[ x , f ( x ), f ( x)].
(2)公式法
F ( x ) ( x ) G[ x , f ( x ), f ( x)], 其中( x) 0.
形如： f ( x ) p ( x ) f ( x) 0, 则
公式法： F ( x ) e p ( x ) d x f ( x).
【例 1】设函数 f ( x) 在 ( , ) 上具有二阶连续导数，且 lim f ( x) 1, f (1) 0, 证明：至少
x2
x→0
存在一点 (0,1), 使得 f ( ) 0.
【解析】由泰勒定理，得
f (0) f (0) x f (0) x 2 o ( x2 )
f ( x)
lim lim 2! 1,
x 2 x2
x → 0 x→0
所以 f (0) f (0) 0, f (0) 2.
从而 f (0) f (1) 0.
对 f ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知，存在 (0,1), 使得 f () 0.
从而 f (0) f () 0.
再对 f ( x) 在[0, ] 上用罗尔定理知，存在 (0, ) (0,1), 使得 f ( ) 0.
【例 2】设函数 f ( x) 在[1, 3] 上连续，在 (1, 3) 内可导，且 23 ln x f ( x)dx 0, 证明：存在 (1, 3), 使得
f ( ) ln1 f ( ) 0.
1
【解析】设 F ( x ) f ( x ) ln x , x [1, 3].
由积分中值定理，知
3 3
2 ln x f ( x)dx 2 f ( x ) ln xdx f ( ) ln 0, [2, 3].
又 F (1) f (1) ln1 0, 从而 F (1) F () 0.
对 F ( x) 在[1, ] 上用罗尔定理知， (1,) (1, 3), 使得 F ( ) 0, 即
f ( ) ln1 f ( ) 0.
【例 3】设奇函数 f ( x) 在[ −1,1] 上具有二阶导数，且 f (1) 1, 证明：
(1)存在 (0,1), 使得 f ( ) 1;
(2)存在 ( −1,1), 使得 f ( ) f () 1.
【解析】(1)设 F ( x ) f ( x ) − x , x [ −1,1], 则 F (0) F (1) 0.
对 F ( x) 在[0,1] 上用罗尔定理知， (0,1), 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) 1.
(2)设 G ( x ) e x [ f ( x ) − 1], x [ −1,1], 则
G ( ) e [ f ( ) − 1] 0.
又 f ( − x ) − f ( x), 所以 f ( − x ) f ( x), 从而 f ( − ) f ( ), 于是
G ( − ) e − [ f ( − ) − 1] 0.
所以 G ( − ) G( ) 0.
对 G ( x) 在[ − , ] 上用罗尔定理知， ( − , ) ( −1,1), 使得 G() 0, 即 f ( ) f () 1.
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